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  Multiplikative Chiffre - Chiffren auf der Basis Modularer Multiplikation f5ceab91487a1d214fac7243ecc9cfd2





Diese Art der Chiffrierung verwendet, statt Addition Multiplikation zur Vertauschung der Buchstabenpositionen im Alphabet (siehe Verschiebechiffren). Multiplikative Chiffren sind monoalphabetisch. Wir multiplizieren jeden Klartextbuchstaben mit dem Schlüssel k.

Ein Beispiel mit k = 2:



Nomenklatur

KA: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
GA: A C E G I K M O Q S U W Y A C E G I K M O Q S U W Y

Alphabet für Klartext(KA) & Geheimtext(GA)


Auffallend ist hier, dass jeweils zwei unterschiedliche Buchstaben jeweils dasselbe Produkt ergeben! Daher können wir diese Substitution nicht als Chiffre verwenden. Damit die Chiffre bei der Dekodierung wieder eindeutige Resultate liefert darf es nicht zu Überlappungen bzw. Uneindeutigkeiten in der Chiffrierung kommen. Der Klartext muss also mit Hilfe des Schlüssels eindeutig aus dem Geheimtext rekonstruierbar sein!

Also gilt: Es kommen nur Alphabete in Frage, deren Elemente nur einmal vorkommen. Es kommen also in diesem Fall nur zur 26 teilerfremde Zahlen in Frage. Das sind 12 Stück: (Restklassenring26)



1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 und 25


Höhere Zahlen kommen nicht in Frage, weil die Modulo-Division wieder kleinere Zahlen liefert, welche den selben Kriterien unterworfen werden.Nehmen wir nun mal einen Kandidaten aus der zulässigen Liste: k = 3:


Nomenklatur

KA: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
GA: A D G J M P S V Y B E H K N Q T W Z C F I L O R U X

Alphabete für Klartext(KA) & Geheimtext(GA)


Diese Chiffrierung funktioniert! Leider ist die Schlüsselzahl noch geringer als bei der Caesar-Chiffre.

Kleiner mathematischer Exkurs

Das Verschlüsseln erfolgt durch Multiplikation des jeweiligen Zeichens mit dem Schlüssel:



a ⊗ b ≡ (a * b) modulo n = K

hierbei ist a der zu verschlüsselnde Buchstabe und b der Schlüssel, n ist der Modul (Alphabetgröße) und K das verschlüsselte Zeichen


Um nun wieder zu entschlüsseln, kann man einfach auf die Nomenklatur zurückgreifen (das macht der hier implementierte Algorithmus) oder man multipliziert die Zeichen des Kryptogramms mit dem Inversen im Restklassenring26.



Schlüssel b 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25
Inverse b-1 1 9 21 15 3 19 7 23 11 5 17 25

Diese Paare ergeben, wenn man sie mit Modulo 26 multipliziert,
in besagtem Restklassenring26 immer 1.
Das entspricht in der normalen Algebra in etwa der Division.


Gehen wir mal ein Beispiel durch:



HALLOLEUTE
07001111141104201904


Multipliziert mit dem Schlüssel 15, der zulässig ist, weil er teilerfremd zu 26 ist, ergibt sich das Kryptogramm:



01000909020908142508
BAJJCJIOZI


Multipliziert man nun das Kryptogramm mit dem Inversen zu 15, hier 7, ergibt sich wieder der Original-Text.


Signatur: Marcel Brätz 20080301 2.0

I: Quelle: Ertel, Angewandte Kryptographie
I: Quelle: Brätz, Vorlesung SS08




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